Question

余弦定理的推导过程

Answer 1

推导过程：

设 △ABC\triangle ABC 中， 。AB→=c,BC→=a,AC→=b。\vec{AB}=c,\vec{BC}=a, \vec{AC}=b。 过 BB 点作 ACAC 的垂线，垂足为 DD ，如果 DD 在 ACAC 内部，则 BDBD 的长度为 asin⁡Ca\sin C ， DCDC 的长度为 acos⁡Ca\cos C ， ADAD 的长度为 b−acos⁡Cb-a \cos C 。

根据勾股定理：

c2=(asin⁡C)2+(b−acos⁡C)2c^2=(a\sin C)^2+(b-a\cos C)^2

c2=a2sin2⁡C+b2−2abcos⁡C+a2cos2⁡Cc^2=a^2\sin ^2C+b^2-2ab\cos C+a^2\cos^2 C

c2=a2(sin2⁡C+cos2⁡C)+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2(\sin ^2C+\cos^2C)+b^2-2ab\cos C

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C

如果 DD 在 ACAC 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。