Question

已知：如图（1）中，BD、CE分别是三角形ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接AF

已知：如图（1）中，BD、CE分别是三角形ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接AF、AG，与直线BC相交，易得FG=1/2（AB+BC+AC）若（1）BD、CE分别是三角形ABC的内角平分线（如图（2））（2）BD为三角形ABC的内角平分线，CE为三角形ABC的外角平分线（如图（3）），则图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明。

Answer 1

解：EF=1/2（AB+AC-BC）
EF=1/2(AC+BC-AB）
延长AF于BF于H，延长AG交BC与Q
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠HBF
∵AF垂直CD
∴∠BFA=∠BFH=90°
∴△BFA≡△BFH
∴AB=BF、AF=HF
∴F为AF中点
同理：∴△ACG≡△QCG
∴AG=QG、AC=CQ
∴G为AC中点
∵F为AF中点
∴EF=1/2HQ=1/2（BQ-BH）=1/2(AC+BC-AB）

Answer 2

（1）证明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
∴MB=AB，
∴AF=MF，…（3分） 同理可说明：CN=AC，AG=NG …（4分）
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG=MN=（MB+BC+CN）=（AB+BC+AC） …（6分）
（2）解：图（2）中，FG=（AB+AC-BC） …（8分）
图（3）中，FG=（AC+BC-AB） …（10分）
①如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=MN=（BM+CN-BC）=（AB+AC-BC），
②如图（3）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=MN=（CN+BC-BM）=（AC+BC-AB），

Answer 3

解：EF=1/2（AB+AC-BC）
EF=1/2(AC+BC-AB）
延长AF于BF于H，延长AG交BC与Q
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠HBF
∵AF垂直CD
∴∠BFA=∠BFH=90°
∴△BFA≡△BFH
∴AB=BF、AF=HF
∴F为AF中点
同理：∴△ACG≡△QCG
∴AG=QG、AC=CQ
∴G为AC中点
∵F为AF中点
∴EF=1/2HQ=1/2（BQ-BH）=1/2(AC+BC-AB）赞同156| 评论(5)