Question

求解：已知，等差数列｛an｝的公差和等比数列｛bn｝的公比都是d（d≠1），a1=b1,a4=b4,a10=b10。

（1）求a1和d的值。
（2）b16是不是｛an｝中的项？若是，为第几项？若不是，说明理由

Answer 1

a4=a1+3d
b4=b1*d^3
所以a1+3d=a1*d^3
a1=3d/(d^3-1)

a10=a1+9d
b10=b1*d^9
所以a1+9d=a1*d^9
a1=9d/(d^9-1)
所以3d/(d^3-1)=9d/(d^9-1)
d^9-1=3d^3-3
d^9-3d^3+2=0
(d^9-1)-3(d^3-1)=0
(d^3-1)(d^6+d^3+1)-3(d^3-1)=0
d不等于1，所以d^3-1不等于0
所以(d^6+d^3+1)-3=0
d^6+d^3-2=0
(d^3+2)(d^3-1)=0
d^3-1不等于0
d^3=-2
d=-2的立方根
a1=3d/(d^3-1)=2的立方根

b16=b1*q^15=a1*(q^3)^5=-32*2的立方根
an=a1+d(n-1)=2*2的立方根-n*2的立方根
若bn=-32*2的立方根=an=(2-n)*2的立方根
所以-32=2-n
n=34
所以b16是an的第34项，即是an中的项