Question

已知函数f(x)=x的四次方-4x的三次方+ax的平方-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减。

（1）求a的值 （2）是否存在实数b使得函数y(x)=bx的平方-1的图像与函数f(x)的图像恰好有2 个交点都存在，求出实数b的值，若存在试说明理由。

Answer 1

1、求FX的导数得 FX导=4x三次方-12x平方+2ax，因为在x=1上取得极值，所以将（1，0）代入，得a=4
2、这题意不太理解，如果我理解为 有且只有两个交点，那就解方程组，得x平方（x平方-4x+4-b）=0，只有b等于0时，有两个交点，b大于0有三个交点，b小于0时，只有一个交点。

Answer 2

（1）由于该函数的增减性在点x=1处改变，即有其导函数f(x)'=4x^3-12x^2+2ax在x=1处的取值等于0，即有f(1)'=4-12+2a=0，所以计算得a=4。
（2）有交点即有f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1=bx^2-1。从该式可以看出在x=0处有解，此处有一个交点。现在排除x=0的情况，两边同时除以x^2，得到x^2-4x
+4=b，即b=(x-2)^2，由于只有两个交点，所以此处b只能使x有一个解，即有b=0，所以x=2是另一个交点。