Question

已知函数f(x) =2x的平方-1. （1）用定义证明f(x)是偶函数； （2）用定义证明f(x)在（－无穷，0]上是减函数

已知函数f(x) =2x 平方-1. （1）用定义证明f(x)是偶函数； （2）用定义证明f(x)在（－无穷，0]上是减函数

Answer 1

首先搞清楚偶函数定义:对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x)。
证明:
(1）定义域是R，显然定义域是对称的。
任取定义域上的点x0，则-x0也在定义域内。得到:
f(x0)=2x0^2-1
f(-x0)=2(-x0)^2-1)=2x0^2-1.
所以f(x0)=f(-x0)。
由任意性可知该函数是偶函数
（2）任取（－无穷，0]上的x1，x2，且x1<x2,只需要证明f(x1)>f(x2).
由 f（x1）-f(x2)=2（x1^2-x2^2）=2(x1+x2)(x1-x2).
显然(x1+x2)<0,x1-x2<0,
所以f（x1）-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
得证