Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1求f(x)

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c,则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c，代入得2ax+a+b=2x.所以a=1，b=-1,又因为f(0)=1,代入得c=1.所以f(x)=x^2-x+1

Answer 2

设 f(x)=ax²+bx+c
则f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=a(2x+1)+b=2ax+a+b=2x
得 2a=2 a+b=0
所以a=1 ,b=-1
又c=f(0)=1
所以f(x)=x²-x+1

Answer 3

解：
设f(x)=ax²+bx+c (a≠0)
∵f(x+1)-f(x)=2x
∴f(1)-f(0)=0
∵f(0)=1
∴f(1)=0+f(0)=1
∴f(2)=2+f(1)=3
∴c=1，a+b+c=1，4a+2b+c=3
∴a=1，b=-1
∴f(x)=x²-x+1