Question

初中数学竞赛题，求解T^T~~~

在平面直角坐标系中 已知O为坐标原点,点A(10,100),B(X,Y)，其中X,Y均为整数，且O、A、B三点不共线。对于满足上述条件的所有的点B，求△OAB的面积最小值。

Answer 1

△OAB中OA的长度已经确定，所以若△OAB面积最小，那么只要OA边上的高长度最小即可，也就是说整点B到直线OA的距离最小时，△OAB的面积也是最小的。

由于直线过(0,0)和(10,100)所以我们可以发现对于任意a,(a,10a)必然在直线OA上
其中a,b,c均是整数
若B(b,c)，那么显然越接近(b,10b）的点显然也越接近直线OA，即B到OA距离越小
那么我们可以发现，对于任意确定的b， (b,10b+1)或者(b,10b-1)是两个最接近OA的整点
且作图可以发现，不论去这两个点中的哪两个，△OAB的面积都是相同的。

令C（b,10b）
那么S△OAB=S△OBC+S△OAC=(BC*(b-0)+OC*(10-b))/2=5

所以△OAB的面积最小值为5

Answer 2

直线OA：y=10x
∴Y≠10X
设Y=10X+k，k≠0且k∈Z
则B与OA之间距离d=|10X-Y|/√11=|k|/√11
又|OA|=10√101
∴S△OAB=1/2*|OA|*d=5√101*|k|/√11
又|k|≥1
∴(S△OAB)min=5√1111/11

追问

嗯..但是不知为什么我求出的面积是5，就是用你的方法设题后再用水平宽铅垂高求出来的。但也谢谢你的热心帮忙~~

Answer 3

初中没学过向量啊 有点麻烦
以初中的知识量 我想想
B点已经设出来了，这样的话可以把AB的长 OB的长都表示出来 然后AO的长你也知道，这样由海伦公式(假设三边长为a,b,c，设p=(a+b+c)/2则面积的平方s^2=p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
可以有三条边表达出三角形面积的公式 化简后应该是个你见过的函数(八成是二次函数之类的) 这个也就是所谓面积的函数 那就求这个函数的最大值就可以了 这个你就应该会了

追问

额...这位仁兄答得太深奥了...虽然貌似学过这些些定理...但是还是看得不太明白...但也谢谢你的帮忙~~

追答

额- - 我是大学数学系的 一般不太喜欢直接给出结果 我感觉给出思路更容易提高 可能说的有点过于抽象