Question

数学分析证明题求解

设|f‘’（x）|《=|f‘（x）|+|f（x）| （对任意x属于区间（a，b）），并存在x0属于（a，b），使得f（x0）=f’（x0）=0.，求证：f（x）恒等于0

Answer 1

亲，你的题目打错了吧。从你的不等式啥都得不到啊，任何一个数都符合这个等式，任何数肯定小于等于自身加上一个非负数，把不等式左边看做一个整体A，就是A≤A+丨B丨 很简单定义fx=x2 f'x=2x 肯定的丨2x丨≤丨2x丨+丨x2丨，且x0=0时满足fx=f‘x=0, 题目错误

Answer 2

先证明一个辅助工具:
若 I 是以 x0 为中心的闭区间, 且总长度不超过 1, 那么在这个区间上从条件
|f(x)| <= A, |f'(x)| <= A
可以推出
|f(x)| <= A/2, |f'(x)| <= A/2.

证明很容易, 直接由条件得
|f''(x)| <= 2A,
然后由中值定理
f'(x)-f'(x0)=f''(c)(x-x0)
得到
|f'(x)| <= A/2,
再用中值定理
f(x)-f(x0)=f'(d)(x-x0)
得到
|f(x)| <= A/2.

对于 (a,b) 内的任何一点 z, 总存在一个包含于 (a,b) 的必区间 I 使得 z 落在其中.
由于闭区间上的连续性其实是一致连续性, 对于任何 A > 0, 存在 0 < u < 1/2 使得在 I 上当 |x-y| < u 时
|f'(x)-f'(y)| + |f(x)-f(y)| <= A.

取 A = 1, 存在 x0 的邻域 (x0-u,x0+u) 使得
|f(x)| <= 1, |f'(x)| <= 1
成立.

然后反复利用最上面的辅助工具得到对任何正整数 n 都有
|f(x)| <= 1/2^n, |f'(x)| <= 1/2^n
所以在这个邻域上 f(x) = 0.

把 x0 换成 x0-u 或 x0+u 之后可以重复上述过程, 把 f(x) = 0 的区间向外扩展 (注意 u 的大小和 x0 的位置无关), 直至包含 z 为止, 这样得到 f(z) = 0, 由 z 的任意性得到结论.