Question

一道高中数学题 求第二问

Answer 1

(1易知双曲线渐近线方程为y=(±b/a)x
因∠MON=π/3
则b/a=tan(π/6)=√3/3（渐近线对称性）（*）
因焦距2c=4，即c=2
则c^2=a^2+b^2=4（**）
由（*）（**）得a^2=3，b^2=1
所以双曲线方程为x^2/3-y^2=1
相应的椭圆方程是x^2/3+y^2=1

(2)令椭圆x^2/m^2+y^2/n^2=1（m>n>0），F(t,0)
则n^2=m^2-t^2（***）

因向量OM*向量MN=0
则OM⊥MN
显然直线l不垂直于x轴（否则OM不可能垂直于MN）
令直线l：y=k(x-t)，令直线与椭圆交A(x1,y1)
注意到k≠±√3/3且k≠0（否则直线l与渐近线只有一个交点）

由（1）易知双曲线渐近线方程为y=(±√3/3)x
联立直线l与渐近线方程易得M(3kt/(3k+√3),-√3kt/(3k+√3))，N(3kt/(3k-√3),√3kt/(3k-√3))
则向量OM=(3kt/(3k+√3),-√3kt/(3k+√3))
向量MN=(2√3kt/(3k^2-1),2√3k^2t/(3k^2-1))
向量FA=(x1-t,y1)
向量AN=(3kt/(3k-√3)-x1,√3kt/(3k-√3)-y1)

因向量OM*向量MN=0
则[3kt/(3k+√3)]*[2√3kt/(3k^2-1)]+[-√3kt/(3k+√3)]*[2√3k^2t/(3k^2-1)]=0
即得k=√3

因向量FA=(1/3)向量AN
则x1-t=(1/3)[3kt/(3k-√3)-x1]，解得x1=(9/8)t
且y1=(1/3)[√3kt/(3k-√3)-y1]，解得y1=(√3/8)t
即A((9/8)t,(√3/8)t)
显然该点在椭圆上
则有[(9/8)t]^2/m^2+[(√3/8)t]^2/n^2=1
即81/m^2+3/n^2=64/t^2（****）

由（***）（****）并结合e=t/m可得e

Answer 2

不确定啊！！