Question

高二数学题求过程。

Answer 1

13。过点A(-1，4)作园(x-2)²+(y-3)²=1的切线，求切线长。
解：A(-1，4)；圆心B(2，3)；园的半径r=1；故切线长=2-(-1)=3.【有一条切线平行于x轴】
14。椭圆x²/5+y²=1的焦点为F₁，F₂；P(xp，yp)是椭圆上的动点，∠F₁PF₂为锐角，求xp的取值范围
解：向量PF₁=(-c-xp，-yp)；向量PF₂=(c-xp，-yp)；设∠F₁PF₂=θ；当θ为锐角时，数量积：
PF₁•PF₂=(-c-xp)(c-xp)+yp²=-(c²-xp²)+yp²=-c²+xp²+yp²>0..........(1)
其中c²=4，yp²=1-(xp²/5)，代入(1)式得：
-4+xp²+1-(xp²/5)=(4/5)xp²-3>0
故得xp²>15/4，即-√5≦xp<-(1/2)√15，或(1/2)√15<xp≦√5.
15。直线L：y=ax+2与双曲线2x²-y²=1交于A，B两点，(1)。求a的取值范围；(2)。当a为何值时，
以线段AB为直径的园经过坐标原点。
解：(1)。双曲线参数：a=√1/2；b=1；渐近线y=±(b/a)x=±(√2)x；
直线L过定点M(0，2)；双曲线x²=(1/2)(y²+1)：x=±√[(1/2)(y²+1)]；
令(1/a)(y-2)=±√[(1/2)(y²+1)]，
平方去根号得(1/a²)(y-2)²=(1/2)(y²+1)
2(y-2)²=a²(y²+1)
(a²-2)y²+8y+a²-8=0
令其判别式△=64-4(a²-2)(a²-8)=64-4(a⁴-10a²+16)=-4(a⁴-10a²)=-4a²(a²-10)≦0
得a²-10≧0，即a≧√10或a≦-√10时过定点M的直线与双曲线相切或无交点。
故当L与两条渐近线都不平行，即a≠±(√2)，且a<√10或a>-√10时L与双曲线有两个交点。
(2)。将y=ax+2代入双曲线方程得：
2x²-(ax+2)²-1=(2-a²)x²-4ax-5=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；
则x₁+x₂=4a/(2-a²)； x₁x₂=-5/(2-a²)； y₁+y₂=a(x₁+x₂)+4=4a²/(2-a²)+4=8/(2-a²)；
∣AB∣=√{(1+a²)[(x₁+x₂)²-4 x₁x₂]}=√{(1+a²)[16a²/(2-a²)²-32/(2-a²)]}=√[(1+a²)(48a²-64)/(2-a²)²]
以∣AB∣为直径的园的圆心G的坐标为((x₁+x₂)/2，( y₁+y₂)/2)=(2a/(2-a²)，4/(2-a²));
当∣OG∣=∣AB∣/2时以G为圆心，以∣AB∣/2为半径的园过原点。故得：
OG²=4a²/(2-a²)²+16/(2-a²)²=[∣AB∣/2]²=(1/4)[(1+a²)(48a²-64)/(2-a²)²]
化简得4a²+16=(1/4)(1+a²)(48a²-64)
即有16a²+64=(1+a²)(48a²-64)
化简得48a⁴-32a²-128=16(a⁴-2a²-8)=16(a²-4)(a²+2)=0，故得a²=4，a=±2.
即当a=±2时以AB为直径的园过原点。