Question

如图在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作

BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AD⊥CF （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）AD⊥CF
理由：∵△ABC为等腰三角形（已知）
∴∠CBA=∠CAB=45°（等腰直角三角形的定义）
∴AC=BC（等腰的定义）
∵∠ACB=90°（已知）
又∵BF∥AC（已知）
∴∠FBC=90°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ACB=∠FBC（等量代换）
∵D为BC中点（已知）
∴BD=CD（中点的定义）
∴∠ABF=45°（等量代换）
∵DE⊥AB（已知）
∴∠DEB=∠FEB=90°(垂直的定义)
在△DBE和△FBE中
∠ABF=∠ABD（等量代换）

∵ BE=BE（公共边）

∠DEB=∠FEB（已证）
∴△DBE≌△FBE（ASA）
∴DB=FB（全等三角形的对应边相等）
∴BF=CD（等量代换）
在△ACD和△CBF中
AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ACD≌△CBF（SAS）
∴CF=AD（全等三角形的对应边相等）
∠CAD=∠BCF（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCF+∠ACF=90°（已知）
∴∠CAD+∠ACF=90°（等量代换）
∴∠CGA=90°（直角三角形的定义）
∴AD⊥CF（垂直的定义）
（2）△ACF为等腰三角形
理由：连接AF
在△ADB和△AFB中
AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ADB≌△AFB（SAS）
∴AD=AF(全等三角形的对应边相等)
∵CF=AD（已证）
又∵AD=AF（已证）
∴CF=AF（等量代换）
∴△ACF为等腰三角形（等腰三角形的定义）