Question

用matlab 求定积分的上限b的值

定积分l=∫(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*xd(t)上限为b下限为0;其中z=-R2*sin(t);y=R2*cos(t);x=R2*cos(t)/a+(a^2+1)^(1/2)*cos(t)*sin(t)/(a*(R1^2-R2^2*cos(t)^2);已知l=10；R2=5;R1=10;a=1；积分下限为0；求上限值。求哪位大神给个答案吧

Answer 1

令f(t)=√(x^2+y^2+z^2)*x，易知f(t)是以2*π为周期的周期函数

再令变上限积分函数：F(x)=∫{0,x}f(t)dt，x≥0

可以证明F(x)是以2*π为周期的周期函数(见附录)，F(x)图像如下图所示

 

因此，若F(b)=∫{0,b}f(t)dt=10且该方程有解，则在b≥0时有无穷多解

而对一个具体问题，若积分上限有范围，求出该范围内的解即可

若没有范围限制，求出一个周期内的所有解，再加上周期的整数倍即可

从上图可见，b在[0,1]与[2,3]均有一根，即一个周期内有两个实根

 

函数m文件(存为ni.m)：

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function I=ni(b)

%用辛普森公式求数值积分∫{0,b}f(t)dt

for i=1:length(b)

    I(i)=quad(@integrand,0,b(i));

end

 

function f=integrand(t)

%建立被积函数f(t)

a=1;

R1=10;

R2=5;

x=R2*cos(t)/a+sqrt(a^2+1)*cos(t).*sin(t)./(a*(R1^2-R2^2*cos(t).^2));

y=R2*cos(t);

z=-R2*sin(t);

f=sqrt(x.^2+y.^2+z.^2).*x;

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输入：

clear

fz=@(b)(ni(b)-10);   %建立方程I=10

b1=fzero(fz,[0,1])     %有根区间取[0,1],以下类似

b2=fzero(fz,[2,3])

b3=fzero(fz,[6,7])

b4=fzero(fz,[9,10])

 

输出：

b1=0.288539440045146

b2=2.853053213392633

b3=6.571724770845351

b4=9.136238520186859

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可见b3≈b1+2*π，b2≈b4+2*π

 

附录　证明F(x)是以2*π为周期的周期函数

∵∫{0,2*π}f(t)dt=∫{0,π}f(t)dt+∫{π,2*π}f(t)dt

                       =∫{0,π}[f(t)+f(-t)]dt                                    对第2个积分换元并整理得

                       =∫{0,π/2}[f(t)+f(-t)]dt+∫{π/2,π}[f(t)+f(-t)]dt

                       =∫{0,π/2}[f(t)+f(π-t)+f(-t)+f(t-π)]dt            对第2个积分换元并整理得

                       =0                                                           由于f(t)+f(π-t)=0，f(-t)+f(t-π)=0

 

∴F(x+2*π)=∫{0,x+2*π}f(t)dt

                 =∫{0,x }f(t)dt+∫{x,x+2*π}f(t)dt

                 =∫{0,x }f(t)dt+∫{0,2*π}f(t)dt                  由于f(t)是以2*π为周期的周期函数

                 =∫{0,x }f(t)dt+0

                 =F(x)

即F(x)是以2*π为周期的周期函数

Answer 2

x=R2*cos(t)/a+(a^2+1)^(1/2)*cos(t)*sin(t)/(a*(R1^2-R2^2*cos(t)^2);
这句少了个括号，给清楚函数关系

追问

x=R2*cos(t)/a+(a^2+1)^(1/2)*cos(t)*sin(t)/(a*(R1^2-R2^2*cos(t)^2));