Question

求通过点A=(3,0,0)和点B=(0,0,1)且与xoy坐标面成60度角的平面方程

Answer 1

设 P（x，y，z）是所求平面上任一点，则向量 AB=（-3，0，1），AP=（x-3，y，z），
因此平面的法向量为 n1=AB×AP=（-y，x+3z-3，-3y），
而 xoy 坐标面的法向量为 n2=（0，0，1），
因此由 |n1*n2|=|n1|*|n2|*cos60° 得 |-3y|=√[(-y)^2+(x+3z-3)^2+(-3y)^2]*1*1/2 ，
化简得 x+√26*y+3z-3=0 或 x-√26*y+3z-3=0 。

Answer 2

平面的截距式方程为x/a+y/b+z/c=1,其中，a,b,c分别是平面α在x,y,z轴上的截距
则可设所求平面α的方程为x/3+y/m+z/1=1,化为一般方程mx+3y+3mz-3m=0
它的法向量为n1（m,3,3m）
xoy坐标面的方程z=0，法向量为n2(0,0,1)
两平面的夹角是60度，则cos60°=|cos＜n1,n2＞|=|n1*n2|/(√|n1|√|n2|)=|3m|/√(10m^2+9)=1/2
解得m=±3/4
所以，所求平面α的方程为x+4y+3z-3=0