Question

高等应用数学方面的问题

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Answer 1

1. 消去z，得两曲面交线在xOy平面的投影为  D: x^2+y^2=1.

   V=∫∫<D>[√(2-x^2-y^2)-√(x^2+y^2)dxdy

   =∫<0,2π>dt∫<0,1>[√(2-r^2)-r]rdr

   =2π[(-1/2)∫<0,1>√(2-r^2)d(2-r^2)-∫<0,1>r^2dr]

   =2π{(-1/3)[(2-r^2)^(3/2)]<0,1>-[r^3/3]<0,1>}=(4π/3)(√2-1).

2. 积分域D是以O(0,0)，A(0,1), B(1,1)为顶点的三角形,请自行画图。

   I=∫∫<D>√(y^2-xy)dxdy

    =∫<0,1>dy∫<0,y>√(y^2-xy)dx

    =∫<0,1>dy∫<0,y>(-1/y)√(y^2-xy)d(y^2-yx)

    =(2/3)∫<0,1>(-1/y)[(y^2-xy)^(3/2)]<x=0, x=y>dy

    =(2/3)∫<0,1>y^2dy=2/9.

Answer 2