Question

一元四次方程的简易解法

Answer 1

我们考虑标准—元四次方程

ax++bx3+ cx2 +dx +e =0

这里a≠0，我们第一个想到的应该是配方法，我们令a=1(这样不失一般性)，也就是

x4+bx3+cx2 +dx +e = 0

移项—下得到

x'+ bx3=-cx2-dx -e

左边配方得到

 b ..)_b_c-dx -e+ x4

那这样我们还是没有办法解出这个方程的，我们引入巧妙的一步，如果我们在左边加入一个新的变量y，那样就是

)2

+'x+y

我们展开这个，得到

 b,上'+bx3+2vx2 +bxy

x+x+y+bX +4

发现相对于原来它多了三项，所以我们考虑右边也加入这些项使等式成立。因此有

号 -(%-c+2y )x+(by-d)x-e+y'

这里的y我并没有指明是什么数字，因此无论对于任何y，上面的等式都是成立的，也就是说如果我取一个特别的y使得右边刚好是一个完全平方数，那么我们就可以开方使得它变成了两个一元二次方程!也就是△=0，我们得到

(by -d) =4 -c+2y (y -e)

这里得到一个关于y的一元三次方程，只需要解出这个三次方程我们就可以得到y值(必定有实数根)，因此我们就得到

) 2

b.)’_b2

+'x+y-D-c+2y x+√y2 -e

)  V4

从而转化为了两个—元二次方程。