Question

高等数学，求极限。【求大神指导】虚心求教，望能讲解解题过程，谢谢。

Answer 1

设 y = (1+ 3^n + 5^n)^(1/n)，则有：
lny =(1/n) * ln(1+3^n + 5^n) = ln(1+3^n + 5^n) /n
因为 lim (lny) 是一个 ∞/∞ 型的极限，可以使用罗必塔法则：
lim(lny)
=lim[1/(1+3^n + 5^n)]* (3^n *ln3 + 5^n * ln5) /1
=lim (ln3 * 3^n + ln5 * 5^n)/(1 + 3^n + 5^n)
=lim [ln3 * (3/5)^n + ln5]/[(1/5)^n + (3/5)^n + 1] 注：分子、分母同除以 5^n
因为 (1/5) <1，(3/5) < 1，所以，当 n →∞ 时，(1/5)^n →0，(3/5)^n → 0
所以，
lim (lny) = lim (ln3 * 0 + ln5)/(0 + 0 + 1) = ln5
既然 lny 的极限等于 ln5，则 lim y 的极限等于 5。