Question

求助一道初二的数学题，谢谢，希望复制答案来的大哥大姐别进了，我是想要真正的答案和思路。。。谢谢谢谢

已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

拜托各位大哥大姐了，别用复制的，我想要完整的过程和分析（我现在才刚学完全等三角形），谢谢了。。。
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补充个问题：“易证”是什么意思？“S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC”不需要证明吗？

各位好心的学长和老师，我才刚学全等三角形，中位线还没学。。。

Answer 1

当三角形DEF在三角形ABC内时，结论成立； 当三角形DEF在三角形ABC外时，S三角形DEF-S三角形CEF＝1/2S三角形ABC。若理解为三角形CEF三角形ABC外时，面积为负，则结论成立。 证明：下面是咯 1.当E在AC上时 过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F' 因为AC垂直BC 所以E'D垂直F'D，F'D平行AC，E'D平行BC 因为D为AB边的中点， 所以E'为AC边的中点，F'为BC边的中点 因为AC=BC 所以CE'=CF'=1/2AC=1/2BC 所以四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC 角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE' 角EDF=角E'DF'90度 所以角FDF'=角EDE' 因为E'CF'D为正方形 所以DE'=DF' 所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形 S三角形DEF+S三角形CEF＝S正方形E'CF'D+S三角形EDE'-S三角形FDF'=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC 2.当E在AC延长线上时 过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F' 四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC（证明同上） 角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE' 角EDF=角E'DF'90度 所以角FDF'=角EDE' 因为E'CF'D为正方形 所以DE'=DF' 所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形 设DF与AC的交点为G，过A做AC的垂线交DE于H 因为E'为AC中点，且CE'=CF' 所以AE'=CE'=CF' 因为AH垂直AC 所以AH平行E'D 因为CG平行DF' 所以三角形FCG全等于三角形EAH，梯形CGDF'全等于梯形AHDE' S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG 所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE'+S三角形DE'G=S梯形CGDF'+S三角形DE'G=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC 图：

3---1.E在AC上，则F在BC上。（求出AED+DFB的面积为ABC的一半，就可得到求证） ∠EDC+∠CDF=90=∠CDF+∠FDB,则∠EDC=∠FDB,另外DC=DB,∠ECD=45=FBD， 可推出三角形DEC全等于三角形DFB，可得EC=FB S三角形ADE+S三角形DBF=1/2*Sin∠A*AD*AE+1/2*Sin∠B*BD*BF ∠A=∠B=45,sin45*AD=1/2*AC=sin45*BD=1/2*BC,AE+BF=AE+EC=AC=BC S三角形ADE+S三角行DBF=1/2*1/2*AC*AE+1/2*1/2*AC*BF=1/4*AC*AC=1/4*AC*BC S三角形ABC=1/2*AC*BC 两式相减就是S三角形DEF＋S三角形CEF=1/4*AC*BC=1/2S三角形ABC 2.E在AC的延长线上，则F在CB的延长线上 显然DE>DC,DF>DB，SDEF>SCDB=1/2S三角形ABC 可知道S三角形DEF＋S三角形CEF明显大于1/2S三角形ABC 3.E在CA的延长线上，则F在BC的延长线上 显然DE>DA,DF>DC，SDEF>SADC=1/2S三角形ABC 可知道S三角形DEF＋S三角形CEF明显大于1/2S三角形ABC 结论就是当E、F在AC、BC线上时，不管垂直与否，求证都成立 当E、F在AC、BC延长线上时，求证都不成立 （在延长线上时DEF的面积是接近无穷大的ED可无限接近平行AC，DF无限接近平行BC，DE、DF都是无限长，量上是无法比较的 你还是自己请教老师或者同学吧 当面说得更清楚一点了

Answer 2

易证的意思是结论很明显，如本题中，当DE⊥AC时，△ABC被分成四个全等的等腰三角形，S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC成立是很显然的，这个结论在这里不需要证明，这是题目告诉你的结论。

图2的结论是成立的，图3的结论不成立，具体如下图所示：

Answer 3

易证，简单解释为浅显易懂，很容易证明，不需论证，一下看出来
先说图2，过d做dm垂直于bc，做dn垂直于ac，由已知得，ac=bc
且d为AB中点，角c为90度，所以dm//ac，dn//bc，又因为d是中点，
所以dm为ac一半，dn为bc一半，所以dn=dm，因为角c是直角，所以cmdn是正方形，因为∠mdf+∠edm=90°，∠nde+∠edm=90°，所以∠mdf=∠nde，
所以△nde≌△dmf，由图一中结论得，S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC

图3我认为上述关系不成立，
应分为三种情况讨论：
1、∠bdf＜∠A时，S△DEF＜S△CEF+S△ABC
其它不成立，不存在∠bdf≥∠A
这是我的看法，第三问，我也没把握，若你有答案，即使没过程，也请给我发一份，让我看看结果，我是否答对，若第二问仍有不懂可向我提问最好在10月7之前，之后我要回校，不能上网

Answer 4

你确定不是已证么？？我再给你证明一遍好了
1。
三角形 CEF与三角形ABC全等。所以S三角形CEF=1/4S三角形ABC EG=1/2AB
三角形AED与三角形ABC全等。DE=1/2CE=CF 同理 三角形DBF与三角形ABC全等。DF=1/2AC=CE
证明三角形DEF与三角形ECF全等。全等比为1：1 S CEF＝S DEF
S三角形CEF+S三角形DEF=1/2S三角形ABC
2。
连接DC
角DEF与角DBC都是45度
角DCE＋角DCB＝90度
角DBC＋角DCB＝90度
所以 角DCE＝角DBC
dc=bc 角DBC＝90度
所以 角EDC=角BDF
三角形 EDC 与三角形DBF 全等
全等比1：1（DC=DB）
所以S三角形DEC+S三角形DEF 恒等于S三角形DCB
所以结论成立

手打的 自己做的。希望能采纳 谢谢

Answer 5

易证：S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC
这时因为：此时E，F是对应边的中点，EF‖AB，这四个三角形是全等的！