Question

定义在r上的函数fx满足;f(-x)+f(x)=x2,当x<0,f(x)的倒数小于x,则不等式f(x)+1/2>=f(1-x)+x的解集为

Answer 1

令g（x）=f（x）-1/2x，则g（-x）+g（x）=x²，当x＜0时，g'（x）＜x-1/2。
题目中不等式变为，g（x）≥g（1-x），
（1）由于当x＜0时，g'（x）＜x-1/2＜0，∴g（x）在（-∞，0）单调递减。
（2）g（0）=0
（3）当x＞0时，g（x）=x²-g（-x），g’（x）=2x+g’（-x），（其实这样就意味着这个函数（0，+∞）的单调性一切都有可能）

这里只能对x分成五类，x＜0，x=0，0＜x＜1,x=1，x＞1。
这样的话，这题的答案由我的经验，不是唯一的。唯一一个 确定的肯定是的解是x=1/2.

给你举例子，（1） x²-1/2x，x≤0
g（x）=
1/2x，x＞0，
这时候，不等式解为x≤ - 1/根号下2，或1/2≤x≤1+ 1/根号下2，

（2） 2x²-1/2x，x≤0
g（x）=
-x²+1/2x，x＞0，
这时候，不等式解为x≤1/2

Answer 2

求导，f'(x)-f'(-x)=2x,当x>0时，f'(x)=f'(-x)+2x<-x+2x=x,f'(0)<=0,所以对任意的x属于R,f'(x)<=x,
令F(x)=f(x)-f(1-x)+1/2-x,有F(1/2)=0,F'(x)=f'(x)+f'(1-x)-1<=x+1-x-1=0,所以F(x)单调递减，所以x>=1/2.

Answer 3

f(-x)+f(x)=x2是什么意思，右边是2x么 好别扭