Question

将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数

Answer 1

根据等比数列公式，
1/(1+2x) = 1/(1-(-2x)) = 1 + (-2x) + (-2x)^2 + (-2x)^3 + ... + (-2x)^(n-1) + ... ，
这是因为等比数列前n项和是(公比为-2x)：
S(n) = [1 - (-2x)^n]/(1 - (-2x)) 趋于 1/(1+2x) （当n趋于无穷）。
所以展开式就是
1/(1+2x) = Sum (n从1到无穷) (-2x)^(n-1)，注意能够展开的条件是公比的绝对值必须小于1，即
|-2x| < 1，或者 -1/2 < x < 1/2。在x的其他数值是没有幂级数展开式的，因为等比数列求前n项和后求出来的极限是无穷大。 Sum就是求和符号。

Answer 2

令t=x-1
则x=t+1
f(x)=1/(1+2x)
=1/(1+2t+2)
=1/(2t+3)
=1/3*1/(1+2t/3)
=1/3*[1-2t/3+4t^2/9-8t^3/27+....]
=1/3-2t/9+4t^2/27-8t^3/81+....
=1/3-2(x-1)/9+4(x-1)^2/27-8(x-1)^3/81+...

追问

答案形式是对的，但x有个范围，做出来写一下范围咋出来的，谢谢