Question

如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB,BC,CD,DA于

如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点，连接EF,FG,GH,HE.试判断四边形EFGH的形状，并说明理由

Answer 1

四边形EFGH是菱形。
证明：
∵ABCD是平行四边形（已知）
∴OA=OC（平行四边形对角线互相平分）
且：AB∥CD，AD∥BC（平行四边形对边平行）
∴∠OAE=∠OCG，∠OEA=∠OGC（两平行线的内错角相等）
∴⊿OAE≌⊿OCG（两边和一角对应相等，两三角形全等）
∴OE=OG（全等三角形对应边相等）
同理可证：OH=OF
∴EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EF⊥GH（已知）
∴EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

Answer 2

四边形EFGH是菱形，理由如下
∵ABCD是平行四边形
∴AO=CO,AB‖CD,AD‖BC
∴∠HAO=∠FCO ∠EAO=∠GCO
∴△HAO≌△FCO △EAO≌△GCO
∴HO=FO EO=GO
∵HF⊥EG
∴HF,EG互相垂直平分
∴四边形EFGH为菱形