Question

如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A，B，C为圆心，

以二分之a为半径的圆相切于点D，E，F，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

解：图中阴影部分的面积就是三角形ABC的面积减去三个扇形AFE、CDE、BDF的面积
先求三角形ABC的面积，连接AD，则AD = √（AC^2－CD^3) = √(a^2 - a^2/4) = (√3/2)a
AD就是三角形ABC的高
所以 S△ABC＝(1/2)BC*AD ＝(1/2)*a*(√3/2)a = (√3/4)a^2
又因为三角形ABC是等边三角形，
所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝ 60°
所以，每个扇形的面积是一个圆面积的1/6
S扇形＝(1/6)*π*CD^2 ＝(1/6)* π * (a/2)^2 = (π/24)a^2
所以阴影部分的面积S阴＝S△ABC－3S扇形 ＝ (√3/4)a^2 - 3*π/24)a^2 =( √3/4 -π/8)a^2