Question

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像与直线y=-1/2x+3交于A,B

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像与直线y=-1/2x+3交于A,B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4,1）问：（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C 1、求点C的坐标 2、在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，求出此时PA+PC的值，若不存在，说明理由； 3、除点C外，在坐标轴上是否催在点Q，使得△QAB为直角三角形？若存在，直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)直线y=-1/2x+3与y轴交于A(0,3),
抛物线y=-1/2x^2+bx+c的图像过点A,B(4，1),
∴c=3,1=-8+4b+3,b=3/2,
∴抛物线的函数解析式是y=(-1/2)x^2+(3/2)x+3.
(2)1.AB的斜率=-1/2，AC的斜率=2，AC:y=2x+3交x轴于C(-3/2，0).
2.抛物线的对称轴L:x=3/2,A关于L的对称点是A'(3，3),
∴△PAC的周长=AC+PA+PC=AC+PA'+PC>=AC+A'C,当A',P'C三点共线时取等号。这时PA+PC=A'C=3√13/2.
3.设Q(3/2，q),△QAB为直角三角形:
i)AB为斜边，9/4+(q-3)^2+25/4+(q-1)^2=16+4,2q^2-8q-3/2=0,q=(4土√19)/2,Q(3/2,(4土√19)/2).
ii)QA为斜边，
iii)QB为斜边，
剩下部分留给您练习。