Question

高中不等式数学

已知不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|2<x<4},则不等式cx²+bx+a<0的解集为

Answer 1

由ax²+bx+c>0的解集为{x|2<x<4}知
方程ax²+bx+c=0的解为2和4，且a<0
所以-b/a =6, c/a=8
令cx²+bx+a=0的解为x1,x2
则x1+x2=-b/c,x1*x2=a/c
所以x1+x2=3/4,x1*x2=1/8
由此可解得方程两根为1//4,1/2
因为x1*x2=1/8>0,a<0
所以c<0
所以函数开口向下
所以cx²+bx+a<0的解集为
（-∞，1/4）∪（1/2,+∞）

Answer 2

易知a<0,c<0,b>0
cx²+bx+a<0等价于cx²/a+bx/a+1>0
c/a=8
b/a=-6
故它等价于8x^2-6x+1>0
x<1/4或x>1/2

也可以韦达定理，但比较麻烦

Answer 3

首先，2<X<4可以得到a小于0
由X1+X2=-b/a=6
X1*X2=c/a=8
所以-b/c=3/4
a/c=1/8
所以不妨设a=-k
c=-8k,b=6k,k>0
最后解得
1/4<X<1/2

Answer 4

因为ax²+bx+c>0的解集为{x|2<x<4},所以2和4为ax²+bx+c=0的2个根，即m（x-2）（x-4）=0，且m≠0，即m（x²-6x+8）=0，所以a=m，b=-6m，c=8m

那么cx²+bx+a=m（8x²-6x+1）=m（2x-1）（4x-1）<0，由于m>0时，原不等式因为ax²+bx+c>0的解集为{x|x<2或x>4},因此m<0，所以新不等式可简化为（2x-1）（4x-1）>0,解得其解集为{x|x<1/4或x>1/2},