Question

求高手做一道高中微积分的题

设f(x)=xlnx-x
(1)求f'(x)和S[上面是e,下面是1](lnx+1)dx
(2)设0<a<b,当c属于(lna,lnb)时.记2*(e的c次方)-(a+b)c+f(a)+f(b)的最小值为S(a,b),求证：S(a,b)<(b-a)ln2

Answer 1

（1）f'(x)=lnx【根据导数的四则运算得】，∫(1,e)(lnx+1)dx=xlnx|(1,e)=e【根据牛顿莱布尼茨法则得】
（2）令g（c）=2e^c-(a+b)c+f(a)+f(b)，0<a<b,lna<c<lnb【此处a，b均为常量，c为变量】，则g'（c）=2e^c-(a+b)
令g'（c）=0得c=ln[(a+b)/2]，显然唯一的驻点在定义区间(lna,lnb)内，又由题意可知此驻点必为最小值点，
因此S(a,b)=g（ln[(a+b)/2]）=alna+blnb-(a+b)ln[(a+b)/2]
构造函数T(a,x)=alna+xlnx-(a+x)ln[(a+x)/2]-(x-a)ln2，其中0<a<x，则T'(a,x)=ln[x/(a+x)]
当0<a<x时，T'(a,x)＜0，即T(a,x)为减函数，故任意x＞a有T(a,x)＜T(a,a)=0
即T(a,b)=S(a,b)-(b-a)ln2＜0

Answer 2

• （1）f'(x)=lnx+1-1=lnx；g'(x)=lnx+1，所以g(x)=xlnx，所以S[上面是e,下面是1](lnx+1)dx=g(e)-g(1)=e-0=e.