Question

数学必修五——数列题

设数列｛an｝的前n项和为Sn,对于所有的自然数n，都有Sn=n（a1+an）/2.
（1）求证｛an｝是等差数列
（2）若S10=310. S20=1220,试确定前n项和Sn的公式

Answer 1

1.
n>=2时
An=Sn-S(n-1)=n(A1+An)/2-(n-1)(A1+A(n-1))/2
(n-2)An-(n-1)A(n-1)=-A1
(n-1)An-(n-1)A(n-1)=An-A1
An-A(n-1)=(An-A1)/(n-1)
同理A(n+1)-An=(A(n+1)-A1)/n
两式相减
(A(n+1)-An)-(An-A(n-1))
=(A(n+1)-A1)/n-(An-A1)/(n-1)
=[(n-1)A(n+1)-nAn+A1]/[n(n-1)]
=[n(A(n+1)-An)-(A(n+1)-A1)]/[n(n-1)]
=[(A(n+1)-A1)-(A(n+1)-A1)]/[n(n-1)]
=0
A(n+1)-An=An-A(n-1)
{An}是等差数列

2.
S10=10A1+1/2×10×9×d=310
S20=20A1+1/2×20×19×d=1220
解方程得A1=4 d=6
Sn=4n+1/2×n(n-1)×6=n(3n+1)

Answer 2

由于Sn=n（a1+an）/2
==》2Sn=n（a1+an）
==>2an=n（a1+an）-(n-1)[a1+a(n-1)]=a1+nan-(n-1)a(n-1）
==》an-a1=(n-1)[an-a(n-1)]
设bn=a(n+1)-an
则an-a1=an-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+……+a2-a1
=b(n-1) +b(n-2) +…… +b1
=T(n -) 表示bn的前n项和
则有 T(n-1)=(n-1)b(n-1)
所以b(n-1)=（n-1）b(n-1)-（n-2)b(n-2)
===》b（n-1）=b(n-2)
所以bn=b(n-1)=……=b1 为常数
所以an-a(n-1)=b(n-1)=b1数，所以an是等差数列
第2问同上