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1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4=[n(n+1)/2]²
证明:
∵ (k+1)^4 = k^4 + 4k³ + 6k² + 4k + 1
(k-1)^4 = k^4 - 4k³ + 6k² - 4k + 1
以上二式相减,得 (k+1)^4 - (k-1)^4 = 8k³ + 8k
分别令 k = 1, 2, 3, 4, ..., n-1, n
可分别得 2^4 - 0^4 = 8*1³ + 8*1
3^4 - 1^4 = 8*2³ + 8*2
4^4 - 2^4 = 8*3² + 8*3
5^4 - 3^4 = 8*4³ + 8*4
……………………………
n^4 - (n-2)^4 = 8(n-1)³ + 8(n-1)
(n+1)^4 - (n-1)^4 = 8n³ + 8n
此n个式子相加可得
(n+1)^4 + n^4 - 0^4 - 1^4 = 8(1³+2³+3³+...+n³) + 8(1+2+3+...+n)
∵1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
∴2n^4 + 4n³ + 6n² + 4n = 8(1³+2³+3³+...+n³) + 4n(n+1)
∴2n^4 + 4n³ + 2n² = 8(1³+2³+3³+...+n³)
∴n^4 + 2n³ + n² = 4(1³+2³+3³+...+n³)
∴n²(n+1)² = 4(1³+2³+3³+...+n³)
∴1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4
证明:
∵ (k+1)^4 = k^4 + 4k³ + 6k² + 4k + 1
(k-1)^4 = k^4 - 4k³ + 6k² - 4k + 1
以上二式相减,得 (k+1)^4 - (k-1)^4 = 8k³ + 8k
分别令 k = 1, 2, 3, 4, ..., n-1, n
可分别得 2^4 - 0^4 = 8*1³ + 8*1
3^4 - 1^4 = 8*2³ + 8*2
4^4 - 2^4 = 8*3² + 8*3
5^4 - 3^4 = 8*4³ + 8*4
……………………………
n^4 - (n-2)^4 = 8(n-1)³ + 8(n-1)
(n+1)^4 - (n-1)^4 = 8n³ + 8n
此n个式子相加可得
(n+1)^4 + n^4 - 0^4 - 1^4 = 8(1³+2³+3³+...+n³) + 8(1+2+3+...+n)
∵1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
∴2n^4 + 4n³ + 6n² + 4n = 8(1³+2³+3³+...+n³) + 4n(n+1)
∴2n^4 + 4n³ + 2n² = 8(1³+2³+3³+...+n³)
∴n^4 + 2n³ + n² = 4(1³+2³+3³+...+n³)
∴n²(n+1)² = 4(1³+2³+3³+...+n³)
∴1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4
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