Question

曲面积分中dS和dxdy的转换等式是怎么推出的？

转换等式如图所示

Answer 1

cosa=1/1/√[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2],其中z=f（x,y）

所以最后结果是上式

若投影到yoz平面

那么dS* - f'x/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dydz

若投影到xoz平面

那么dS*- f'y/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dxdz

扩展资料

曲面积分的物理背景为流量的计算问题，设某流体的流速为v=((P(x、y、z)，Q(x、y、z)，R(x、y、z))从某双侧曲面S的一侧流向另一侧，求单位时间内流经该曲面的流量。

对于曲面积分，积分曲面为u(x、y、z)=0，如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、,x后，u(y、z、x)仍等于0，即u(y、z、x)=0。

也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x、y、z)dS=∫∫f(y、z、x)dS；如果将函数u(x、y、z)=0中的x、y、z换成y、x,、后，u(y、x、z)=0。

由于是有向曲面，设它的单位法向量为n=(coα，cosβ，cosγ)，取曲面面积微元dS，则所求的单位时间内流量微元就是dE=(v·n)dS，若记有向曲面向量微元为dS=ndS，则dE=v·dS。

Answer 2

dxdy是dS在xoy平面的投影，设dS的平面与xoy平面呈夹角a

那么dS*cosa=dxdy
cosa就是方向余弦，其求法是
找垂直于对应曲面的向量，即法向量，然后除以该法向量的长度，得单位法向量，就是方向余弦
求得cosa=1/1/√[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2],其中z=f（x,y）
所以最后结果是上式
若投影到yoz平面
那么dS* - f'x/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dydz
若投影到xoz平面
那么dS*- f'y/√[1 + (f'x)^2 + (f'y)^2]=dxdz
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