Question

如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点O是AB的中点，圆O与AC相切于点D，与BC相切于点E

附加条件 设圆O交OB于点F，连接DF并延长交CB的延长线于点G。
问题：（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？
（2）若圆O的半径为3，求由DG,GE和弧ED所围成图形的面积(阴影部分)

Answer 1

1、
∠BFG=∠BGF
连OD，∵OD=OF（圆O的半径）
∴∠ODF=∠OFD
∵圆O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC。
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，OD//GC， ∴∠BGF=∠ODF。
又∵∠BFG=∠OFD
∴∠BFG=∠BGF

2、连OE，则ODCE为正方形且边长为3。
易知AOD∽ABC
AD/AC=AO/AB=1:2
∴AB=AC=6
BC=6√2
∵∠BFG=∠BGF
∴BG=BF=OB－OF=3√2-3
∴阴影部分的面积
=△DCG的面积－（正方形ODCE的面积－扇形ODE的面积）
=9（√2/2+π/4-1/2）