Question

求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合并分别写出最大值、最小值

（1）y=3-2sinx (2)y=sinx/3

Answer 1

1、已知y=cosx，当x=2kπ时取得最大值1， 当x=2kπ+π时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=1-1/2 cosπx/3，当x=2kπ/(π/3)=6k时取得最小值1-1/2×1=1/2，
当x=(2kπ+π)/(π/3)=6k+3时取得最大值1-1/2×(-1)=3/2

2、已知y=sinx，当x=2kπ+π/2时取得最大值1， 当x=2kπ+3π/2时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=3sin(2x+π/4)，当x=(2kπ+π/2-π/4)/2=kπ+π/8时取得最大值3×1=3，
当x=(2kπ+3π/2-π/4)/2=kπ+5π/8时取得最小值3×(-1)=-3

3、已知y=cosx，当x=2kπ时取得最大值1， 当x=2kπ+π时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=-3/2cos(1/2x-π/6),，当x=(2kπ+π/6)/(1/2)=4kπ+π/3时取得最大值，
当x=(2kπ+π+π/6)/(1/2)=4kπ+7π/3时取得最小值，
可知当k=0时，在[π/3,7π/3]的区间中此函数是单调增的，而区间[π/3,7π/3]包含[2π/3,π]，所以函数在区间[2π/3,π]中也是单调递增的，
所以当x=2π/3时，y=-3√3/4为此区间内最小值，当x=π时，y=-3/4为此区间内最大值

4、已知y=sinx，当x=2kπ+π/2时取得最大值1， 当x=2kπ+3π/2时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=1/2sin(1/2x+π/3)，当x=(2kπ+π/2-π/3)/(1/2)=4kπ+π/3时取得最大值，
当x=(2kπ+3π/2-π/3)/(1/2)=4kπ+7π/3时取得最小值，
当k=0时，x=π/3时在[-π/3,4π/3]范围内取得最大值y=1/2
正因为x=π/3时取得此范围内最大值，可知此时它的两侧均为单调递减，
需要分别计算x=-π/3和x=4π/3时y的值，比较后来判断此范围内函数的最小值。
当x=-π/3，y=1/4，当x=4π/3时，y=0，因为0<1/4，
所以当x=-π/3时，函数取得[-π/3,4π/3]范围内的最小值y=0