Question

大学高数问题

求证：若{a(n)}单调增{b(n)}单调减lim（b（n）-a（n））=0则a（n）b（n）收敛且极限相等

Answer 1

证：因为
lim(bn-an)=0
由极限定义，得
对于任意正数ε>0,存在N>0，当n>N时
|bn-an|<ε
即
-ε<bn-an<ε
an-ε<bn<an+ε
因为an递增，即an≥a1
所以
bn>a1-ε
而 bn单调减，又有下界
由准则II，{bn}收敛；
同理
{an}收敛
因为
lim(bn-an)=0
=limbn-liman
从而
limbn=liman (不证出极限存在不能拆开来)

Answer 2

lim（b（n）-a（n））=limb(n)-lima(n)=0 所以limb(n)=lima(n)，有极限，说明收敛。。

追问

运用极限法则时要求那两个有极限...可是 问题是要证明他们有极限..应该不能直接用极限运算法则吧

追答

单调增和单调减说明有极值。。。又由已知条件得出极限相等。。

追问

单调增减不能说明有极限吧....有单调有届准则...这里不知道有没有界0.0