Question

关于y=f(a+x)和y=f(b-x)对称的问题……

　　众所周知，y=f(a+x)和y=f(b-x)关于直线x=1/2(b-a)对称。　【注意不是函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)恒成立，因而关于x=1/2(b+a)对称。】
　　这个结论我知道怎么证明，也知道求对称轴的方法。但是现在有一种说法：根据a+x=b-x可以求得对称轴x=1/2(b-a)，这究竟是一种巧合，还是蕴藏着某种必然？鄙人百思不得其解，跪求这种说法的【合理解释】（不是证明这个结论）……万分感谢！

Answer 1

当两个函数取到同一个函数值y=f(t)的时候，因为自变量总是满足a+x1=t=b-x2
可以解出来x1=t-a, x2=b-t
且x1和x2始终关于(b-a)/2对称。

也就是用同一条水平线y=f(t)去截两个函数y=f(a+x)和y=f(b-x)

得到的自变量都是关于(b-a)/2对称。
所以两者关于关于(b-a)/2对称。

追问

善哉！听君一席话，如闻清夜钟！不过，如果是周期函数，奈何？

追答

如果不是正余弦函数这种特殊的函数的话，
只考虑一般的周期函数，
根据题意y=f(t)是个周期函数，
所以两个函数满足f(a+x1)=f(b-x2)=f(t)
应该满足a+x1=t+mT，b-x2=t+nT
所以x1=t-a+mT, x2=b-t-nT
所以x1+x2=(b-a)+(m-n)T
所以对称轴有好多条,对称轴是x0=(1/2)[(b-a)+(m-n)T]

其中m, n是整数

Answer 2

他用到的是x1+x2=2x，x是对称轴横坐标，x1、x2是对称点的横坐标

Answer 3

证：
f(a+x)+f(b-x)=c
-f(a+x)+1/2c=f(b-x)-1/2c
-[f(a+x)-1/2c]=f(b-x)-1/2c
下面这一步很关键：
令x=y-(a-b)/2,代入上式：
-[f(y-(a+b)/2)-1/2c]=f[-(y-(a+b)/2)]-1/2c
将y换成x
-[f(x-(a+b)/2)-1/2c]=f[-(x-(a+b)/2)]-1/2c

从此式可以看出：
f(x)关于((a+b)/2,c/2)对称

对称不一定有周期的
例如我们设f(x)=x
a=2 b=4
则c=6
符合题意
但是f(x)=x明显是没有周期的
是否可以解决您的问题？