Question

高三数学一轮复习，函数的题

Answer 1

已知函数f(x)=-log(1/2,x^2-ax-a)在（-∞，1-√3）上是减函数。
(1)求a的取值范围；
(2)若a取所有能使f(x)在（-∞，1-√3）上是减函数的值中的最大值，求使关于x的方程f(x)=log(2,4x-m)有解的m的最大值。
解：令g（x）=x^2-ax-a=(x−a/2)^2-(a+a^2/4)，
g（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴x=a/2，最小值g(x)min=-(a^2+4a)/4，x<a/2时，单调减；x>a/2时，单调增。
∵函数f（x）=-log(1/2,g（x）)，在区间（-∞，1-√3）上是减函数，
∴函数f（x）=log(1/2,g（x）)，在区间（-∞，1-√3）上是增函数，
∵底数0<1/2<1
∴g（x）=x^2-ax-a在区间（-∞，1-√3）上是减函数，且g(x)>0
即g(1-√3 )=(1−√3)^2-a(1-√3)-a>0==>a<=2，
g’（x）=2x-a==>g’（1-√3）=2(1-√3)-a<=0==>a>=2-2√3
∴2-2√3<=a<=2
(2)解析：令a=2
则f(x)=-log(1/2,x^2-2x-2)=log(2,4x-m)
-ln(x^2-2x-2)/ln(1/2)=ln(4x-m)/ln2==>ln(x^2-2x-2)=ln(4x-m)
∴x^2-2x-2=4x-m
M=-x^2+6x+2=-(x-3)^2+11
∴使关于x的方程f(x)=log(2,4x-m)有解的m的最大值为11