Question

一道高数题目，我用另一种方法做出来和书上答案不一样，不知道哪里错了

Answer 1

同学你“先二”结果二了
既然要用直角坐标，根号（x2+y2)就不能放到积z的部分里，而你截出来的东西只是确定了积dxdy的上下限

追问

能说具体一点吗，如果要用先二后一法应该怎么做

追答

先二后一，最简单的还是把dxdy变成dr dtheta ，这又和柱坐标差不多了。如果非要用直角坐标，那相当麻烦，比如你不用坐标变换直接算 ∫∫dxdy （区域为x^2+y^2<=1）试试

追问

“既然要用直角坐标，根号（x2+y2)就不能放到积z的部分里，而你截出来的东西只是确定了积dxdy的上下限”这句话能详细解释一下吗，说的太简单了确实看不懂，根号下x2+y2不是等于根号z吗？为什么不能换成z做积分呢？为什么换成住坐标系又可以了呢

追答

这么给你说吧，z=x^2+y^2只是V的侧面的方程，只告诉了积分限，满足该式的仅仅是侧面上的点，而V内部的点不满足，所以不能替换。另外，柱坐标也没有这么换，它是用r代替 根号(x^2+y^2)
至于你的解法，稍微修改一下就行。你的解法只是算出了V的体积，或者说均匀材料制成的V的质量。但是有了 根号(x^2+y^2)以后，材料就是不均匀的了，各点密度不同，需要 （∫密度x局部体积）这么样来计算