Question

变限积分的性质

Answer 1

变限积分的性质如下：

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。

函数性质：

连续性：

【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数定理：

【定理二】如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

证明过程如下：

导数推广：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞。

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

原函数存在定理：

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

以上内容参考：百度百科-积分变限函数