Question

已知（x-1）²+y²=2，求xy/x+y的值域

急求高手解答，多谢各位踊跃回答。
大概说一下解析就行，急需答案啊。

Answer 1

个人感觉这道题不是正规的试题吧.
这里首先给个建议: 不要随便找来源不明的题目来做.
有些题目稍微改一下就没法做了.
比如这道题, 弄不好就会化出一个一元六次方程.
虽然这道题不解那个方程也可以, 但是数变一下就不得不解那个方程了.
而那个方程还是不能用根式求解的, 所以就没法做了.

这道题不用解那个方程的原因是: xy/(x+y)的值域是全体实数.
如果不是全体实数, 值域的边界值就会与那个方程的根有关,
从而需要求解那个方程才能确定值域.
换句话说, 这道题之所以能做是因为答案平凡,
答案不平凡的同类题目都没法做,
所以把这道题出成习题或考题实在是难以理解.

多余的话说到这里, 下面证明xy/(x+y)可以取到全体实数.
易见这等价于对任意实数t, 方程组①:
(x-1)²+y² = 2, xy/(x+y) = t,
总有实数解.

对t = 0, 易见x = 1+√2, y = 0是一组解, 以下只讨论t ≠ 0的情况.
第二个方程可化为y = xt/(x-t),
将其代入(x-1)²+y² = 2得(x-1)²+x²t²/(x-t)² = 2.
去分母展开得x⁴-2(t+1)x³+(2t²+4t-1)x²-2(t²-t)x-t² = 0 ②.
设f(x) = x⁴-2(t+1)x³+(2t²+4t-1)x²-2(t²-t)x-t².
注意到f(0) = -t² < 0 (∵t ≠ 0).
而f(3) = 11t²-12t+18 = 9t²+2(t-3)² > 0,
f(-1) = 3t²+4t+2 = t²+2(t+1)² > 0.
由f(x)连续性, 可知其在(0,3)与(-1,0)内分别至少有一个零点.
从而方程②至少有两个不等实根.
于是方程②至少有一个实根不等于t.
取x为这个实根, 则y = xt/(x-t)有意义.
这组x, y就是方程组①的一组实数解, 证毕.

从几何上看.
(x-1)²+y² = 2是一个圆,
xy/(x+y) = t即(x-t)(y-t) = t²在t ≠ 0时是双曲线.
方程组①有实数解即是说二者总有交点.
这其实不难看出来:
因为双曲线(x-t)(y-t) = t²总过原点,
而原点在圆(x-1)²+y² = 2的内部,
所以无限延伸的双曲线总与该圆有交点.

如果修改条件, 使该圆不包含原点, 则值域可能不再是全体实数.
要判断方程②何时有实根, 结果就会导出一个六次方程.

追问

多谢了

Answer 2

用三角代换吧
x-1=v2sina
y=v2cosa
xy/x+y=2sina*cosa/(v2(sina+cosa)+1

追问

麻烦详细点好吗，我是初学者，不是特别会谢谢