Question

概率论的一道题

随机变量zi（i=1,2,....,p）互相独立，其概率密度函数是f(zi)=exp{-zi-exp(-zi)}, zi属于负无穷到正无穷。求①Pr（z1>z2）
②(ai,bi）（i=1,2,....,p）是未知的常数，X是已知常数时，有Yi=ai+biX+zi i=1,2,....,p。求Y1是{Y1,Y2,....,Yp}中最大的数的概率。

第一问大概是二分之一

Answer 1

第一个好做，
Pr（z1>z2）=∫∫(z1>z2) f(z1，z2)dz1dz2=∫∫(z1>z2) f(z1)f(z2)dz1dz2
=∫∫(y>x) f(x)f(y)dxdy
因为积分函数满足f(x)f(y)=f(y)f(x)，是关于y=x对称的，所以
∫∫(y>x) f(x)f(y)dxdy=∫∫(y<x) f(x)f(y)dxdy=(1/2) ∫(-∞->+∞)∫(-∞->+∞)f(x)f(y)dxdy
=(1/2) [∫(-∞->+∞)f(x)dx]*[∫(-∞->+∞)f(y)dy]
=1/2

第二个算一个就可以，比如Y1>Y2，然后来n-1个连乘就可以了。