Question

已知函数f(x)=1／a－1／X（a＞0，X＞0

已知函数f(x)=1／a－1／X（a＞0，X＞0
求证: f(x)在（0，＋∞）上是 单调递增函数；
2．若f(x) 在[1／2,2]上的值域是[1／2,2]，求a的值

Answer 1

1、 证明：
设x1>x2>0
则f(x1)-f(x2)
=1/a-1/x1-(1/a-1/x2)
=1/x2-1/x1
=(x1-x2)/x1*x2>0
所以f(x1)>f(x2)
所以f(x)在（0，＋∞）上是单调递增函数

2、因为f(x)在（0，＋∞）上是单调递增函数，且f(x) 在[1／2,2]上的值域是[1／2,2]
所以f(1/2)=1/2,f(2)=2
带入原函数得1/a-1/(1/2)=1/2,1/a-1/2=2
得a=2/5

Answer 2

1，
设x2>x1>0
f(x2)-f(x1)=(1/a-1/x2)-(1/a-1/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1x2
因为x2-x1>0,x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1)
所以f(x)在（0，＋∞）上是 单调递增函数

2，
因为f(x)在（0，＋∞）上是 单调递增函数，且f(x) 在[1／2,2]上的值域是[1／2,2]，
则x=1/2，f(x)=1/2, x=2,f(x)=2
代入解方程得a=2/5

Answer 3

这里a是常数吧？如果是常数，那设x1>x2，f(x2)-f(x1)=-1/x2+1/x1>0，得出f(x)是递增函数，或者可以对f(x)求导，得出导数1/x^2>0，所以为单调递增。
由于是单调递增函数，所以f(1/2)=1/a-2=1/2,f(2)=1/a-1/2=2,得出a为2/5。