Question

老师您好，我是一名高三生，遇到一个困扰很久的题目。

直角三角形ABC的两直角边AC=2 BC=3 P为斜连AB上的一点 现延CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B 当AB=根号7，求二面角P-AC-B的大小

Answer 1

做BD⊥CP,垂足为D,做AE⊥CP,垂足为E,

∵B-CP-A为直二面角

∴BD⊥面ACP,AE⊥面BCP

设∠BCp=α,

∴BD=3sinα,CD=3cosα ,

    AE=2cosα,CE=2sinα

     DE=|2sinα-3cosα|

∵AB=√7

∴AB²=BD²+AE²+DE²=7

∴9sin²α+4cos²α+(2sinα-3cosα)²=7

∴13sin²α+13cos²α-12sinαcosα=7

那么6sin2α=6 ,sin2α=1,2α=90º,α=45º,

即CP是∠ACB的平分线，

做DF⊥AC,垂足为F,连接PF,

那么∠BFD为二面角B-AC-P的平面角.

∵DF=CDsin45º=3cos45ºsin45º=3/2

  BD=3sin45º=3√2/2

∴tan∠BFD=BD/DF=√2

二面角P-AC-B的大小为arctan√2