Question

已知函数F（X），X∈R，对任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)且当X＞1，f(x)＞

已知函数F（X），X∈R，对任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)且当X＞1，f(x)＞0，f(2)=1
求证函数f(x)在（0，正无穷）上是增函数

Answer 1

解由f(ab)=f(a)+f(b)
令a=b=1
知f（1）=f（1）+f（1）
即f（1）=0
令a=x，b=1/x
知f（x×1/x）=f(x)+f(1/x)
即f(x)+f(1/x)=f（1）=0
即f(1/x）=-f（x）
设x1.x2属于（0，正无穷）且x1＞x2
则f(x1)-f(x2)
=f(x1)-[-f(1/x2)]
=f(x1)+f(1/x2)
=f(x1/x2)
由x1＞x2＞0
知x1/x2＞1
又由当X＞1，f(x)＞0
知f(x1/x2)＞0
即f(x1)-f(x2)＞0
即f(x)在（0，正无穷）上是增函数。