Question

中学数学几何类型题

现有一矩形ABCD和一等腰直角三角形BEF按如图所示位置放置（AB和BE重合），其中AB=25，AD=48
将△BEF绕点B顺时针旋转a°（0＜a＜90°），在旋转过程中，EF与AD交于点G，如图
（1）求证：AG=EG（我已证出此问

，不必详写）
（2）连接CE，DE，是判断是否存在以DE为腰的等腰三角形CDE，并求出a的度数
（3）如图，以AB为边在矩形内部做正方形ABMN，直角边EF所在的直线交MN于点P，交BC于点Q
赊AG=x，PN=y，写出y关于x的函数关系式

Answer 1

（1）证明：连结AE
△ABE等腰——△AGE等腰——AE=EG

（2）解：假设存在以DE为腰的等腰三角形CDE
∵BE+DE≥BD=√(48^2+25^2)>50
∴DE>25
∴DE>CD
∴DE=DC
过点E分别作EH⊥CD于H，EI⊥BC于I
则DH=CH=1/2CD=25/2
四边形CIEH为长方形
∴EI=CH=25/2
∴sin∠EBI=EI/EB=1/2
∴∠EBI=30°
∴a=∠EBA=60°

（3）解：
∵四边形ANMB为正方形
∴MN⊥AN，AN=NM=AB=25
又∵AG=x，PN=y
∴GN=25-x，PM=25-y
同（1）可得：PE=PM
∴PG=PE+EG=PM+AG=25-y+x
∵PG^2=PN^2+GN^2
∴(25-y+x)^2=y^2+(25-x)^2
化简得：-50y+50x-2xy=-50x
25y-50x+xy=0
y=50x/(x+25)
(0<x<25)

追问

取值范围可以是0≤x≤25吧

追答

这里需要注意到题目，将△BEF绕点B顺时针旋转a°（0＜a＜90°）
∴不可以取等号

Answer 2

过D点作DE//AC交BC延长线于E，
∵AD//BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴CE=AD
(平行四边形的对边相等)
于是BD=6
DE=8
∴BE=BC+CE=BC+AD=10即AD+BC=10
∴△BDE是直角三角形
∴△BDE的面积=1/2×BD×DE=24
10*h*1/2=24,
h=4.8

Answer 3

是AC=8吧
过D作DP∥AC交BC延长线于P
DP=AC=8,
DP⊥BD
勾股定理求得
BP=10
∴梯形的高=直角三角形BDP斜边BP上底的高=2S△BDP/BP=BD×DP/BD=6×8/10=4.8

Answer 4

(2) ECD要成等腰三角形，则E点在CD的垂直平分线上（也就是AB中点和CD中点的连线）
设AB的中点为M，显然EM垂直于AB，有BM＝AB/2=BE/2
所以a=60度

（3）跟（1）一样证法可证EP＝PM
在三角形GNP内用勾股定理
GN^2+NP^2=GP^2
(AB-AG)^2+NP^2=(GE+EP)^2
(AB-AG)^2+NP^2=(AG+PM)^2
(AB-AG)^2+NP^2=(AG+AB-NP)^2
(25-x)^2+y^2=(x+25-y)^2

100x=50y+2xy