Question

几何题目

在三角形ABC中，角C=20度，角A=60度，此三角形角C的平分线为CE,D在线段AC上且角CBD=20度，求角EDB和角CED的度数是多少？

Answer 1

解析：

设△ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理，得

AB/sin∠ACB=AC/sin∠ABC=BC/sin∠BAC=2R，

容易知道∠ABC=100°，∠ACB=20°，∠BAC=60°，

∴AB=2Rsin20°，AC=2Rsin100°，BC=2Rsin60°，

根据角平分线定理，得

AE/BE

=CA/BC

=sin100°/sin60°

=sin80°/sin60°，……①

在△BCD中，根据正弦定理，得

CD/sin20°=BC/sin140°=BC/sin40°，

即CD=BCsin20°/sin40°=2Rsin60°sin20°/sin40°

∴AD=AC-BD=2R*[sin100°-(sin60°sin20°/sin40°)]

=2R*[(sin80°sin40°-sin60°sin20°)/sin40°]

∴AD/CD=(sin80°sin40°-sin60°sin20°)/(sin60°sin20°)

∵sin80°sin40°-sin60°sin20°

=2sin80°sin20°cos20°-sin20°(sin80°cos20°-sin20°cos80°)

=2sin80°sin20°cos20°-sin80°sin20°cos20°+sin²20°cos80°

=sin80°sin20°cos20°+sin²20°cos80°

=sin20°(sin80°cos20°+sin20°cos80°)

=sin20°sin100°

=sin20°sin80°

∴AD/CD

=sin20°sin80°/(sin60°sin20°)

=sin80°/sin60°……②

∴由①和②，得

AE/BE=AD/CD

∴DE‖BC……③

∴∠ADE=∠ACB=20°

∵∠BDC=180°-20°-20°=140°，∠ADB=180°-∠BDC=40°，

∴∠DEB=180°-∠ADE-∠BDC=20°

∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=20°

∠CED

=180°-∠DEB-∠BDC-(1/2)∠DCB

=10°

谢谢！

附图如下