Question

高中函数奇偶性题目设f(X)是实数区间上的奇函数，f(x+2）= -f(x).当X大于等于0小于等于1时，f(x)=x.f(7.5

设f(X)是实数区间上的奇函数，f(x+2）= -f(x).当X大于等于0小于等于1时，f(x)=x.f(7.5)=?

Answer 1

∵f(x+2)= -f(x)，
∴f(7.5)=f(5.5+2)= -f(5.5)；
f(5.5)=f(3.5+2)= -f(3.5)；
f(3.5)=f(1.5+2)= -f(1.5)；
f(1.5)=f(-0.5+2)= -f(-0.5)；

∴f(7.5)= -f(5.5)=f(3.5)= -f(1.5)=f(-0.5).

又函数f(x)为奇函数，
∴f(-0.5)= -f(0.5)，

由题意，当0≤x≤1时，f(x)=x，
∴f(0.5)=0.5，

因此，f(7.5)=f(-0.5)= -f(0.5)= -0.5.

另解：
∵f(x)为奇函数，
∴f(-x)= -f(x)，
又f(x+2)= -f(x)，
∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的周期函数，
故f(7.5)=f(-0.5+4×2)=f(-0.5)= -f(0.5)，

由题意，当0≤x≤1时，f(x)=x，
∴f(0.5)=0.5，
f(7.5)= -f(0.5) = -0.5.