Question

已知函数fx对任意x，y∈R，总有fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0，f1=负三分之二。求，该函数是R上减函数

求证问题 证明详细一点

Answer 1

f(0)+f(1)=f(1)
f(0)=0
f(x)+f(-x)=f(0)
f(x)=-f(-x)

这是奇函数.
f(2x)=f(x)+f(x) 如果x>0
f(2x)<f(x)
所以f(x)在x>0上是减函数
因为是奇函数,增减区间相同，所以f(x)在R上是见函数

Answer 2

对任意正数a，有f(a)<0和x+a>x
f(x+a)=f(x)+f(a)<f(x)
自变量越大函数值越小，所以是减函数