Question

带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开这就意味着x->0吗？

带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开这就意味着x->0吗？

Answer 1

不，在x不等于0时，只要带有余项，也是精确的。

追问

那佩亚诺型余项的麦克劳林是泰勒公式在x→0时的展开吧，此时x→xo,xo=0 。

追答

不，x不趋于x0，泰勒中值定理是：如果函数fx在某个开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，且x0属于次区间内，那么，任意一个x，只要也属于这个区间，就可以用·········公式展开，其实麦克劳林中取x0=0只是为了计算方便而已。

追问

我做了一道题，其中用到带佩亚诺型余项的麦克劳林公式，但是答案中把x^4和x^5合并到o（x^3）理由是用到带佩亚诺型余项的麦克劳林公式默认x趋近于零，x^4和x^5是x^3的高阶无穷小。
如果用到带佩亚诺型余项的麦克劳林公式并不默认x趋近于零，那为什么将x^4和x^5合并到o（x^3）呢？

追答

不好意思，我想了一下，确实是我弄错了，带了佩亚诺型余项的必然是x趋近于0的，不然这个余项就没意义了，之前想的时候重点没放在余项上面。共同进步！

追问

共同进步！