Question

已知:如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上的点,角FAE=角DAE.求证:AF=AD+CF.(3种回答)

Answer 1

【证法1】

延长AE，交BC延长线于G

∵四边形ABCD是正方形

∴AD//BC

∴∠DAE=∠G，∠D=∠ECG

又∵E是CD的中点，即DE=CE

∴△ADE≌△GCE（AAS）

∴AD=CG，∠DAE=∠G

∵∠FAE=∠DAE

∴∠FAE=∠G

∴AF=FG=CG+CF=AD+CF

【证法2】

过E点作EH⊥AF，交AF于H，连接EF

∵四边形ABCD是正方形

∴∠C=∠D=90°

∴∠AHE=∠D=90°

又∵∠FAE=∠DAE，AE=AE

∴△AHE≌△ADE（AAS）

∴AH=AD，HE=DE

∵E是CD的中点，即DE=CE

∴HE=CE

又∵∠EHF=∠C=90°，EF=EF

∴Rt△EHF≌Rt△ECF（HL）

∴HF=CF

∴AF=AH+HF=AD+CF

【证法3】

延长AD到M，使AM=AF，连接EM，EF

∵AM=AF，∠FAE=∠DAE，AE=AE

∴△MAE≌△FAE（SAS）

∴EM=EF

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ADC=∠C=90°

∴∠MDE=∠C=90°

又∵E是CD的中点，即DE=CE

∴Rt△MDE≌Rt△FCE（HL）

∴DM=CF

∵AM=AD+DM=AD+CF

∴AF=AD+CF

【注意：此图不能用：连接FE并延长，交AD延长线于M。会出现SSA，还得作辅助线】