Question

如何证明y=Cos(1/x)是否为周期函数

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Answer 1

解析：

用反证法证明，假设y=cos(1/x)是周期函数，则存在T>0，使得任取x

cos(1/x)=cos(1/(x+T))

则1/x=1/(x+T)+2kπ k∈Z

x+T=x+2kπx(x+T)

2kπx^2+2kπTx-T=0

显然对于给定的k和T，最多存在两个x的值使上式成立，这与x的任意性矛盾。所以y=cos(1/x)不是周期函数。

扩展资料： 

周期函数的性质 共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

Answer 2

假设y=cos(1/x)是周期函数,则存在T>0,使得任取x
cos(1/x)=cos(1/(x+T))
则1/x=1/(x+T)+2kπ k∈Z
x+T=x+2kπx(x+T)
2kπx^2+2kπTx-T=0
显然对于给定的k和T,最多存在两个x的值使上式成立,这与x的任意性矛盾.所以y=cos(1/x)不是周期函数