Question

九年级数学几何问题..

1. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10cm，求AC。

2.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BC=DC。 求证：BE=DF

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AB=AC+CD,
（1）求证：AC=BC
（2）若BD=4√2，求AB的长

Answer 1

1：证明：连结AD，由于DE垂直平分AB，则AD=BD=10cm，∠DBE=∠DAB=15°
在直角三角形ACD中，∠CAD=∠CAB-∠DAB=90°-15°-15°=60°
则AC=AD*cos60°=10*0.5=5（cm）。
2：证明：因为AC平分∠BAD，且CE⊥AB于E,CF⊥AD于F
得到：CF=CE (由性质：角平分线上的点到角的两边距离相等 )
又因为BC=DC，且∠F=∠CEB=90° 得到△CFD全等于△CEB
所以BE=DF
3：证明：（1）过点D做DE⊥AB，交AB于E
因为 AD是△ABC的角平分线，且∠C=90
得到CD=AD (由性质：角平分线上的点到角的两边距离相等 )
易证△ACD全等△AED，所以AC=AE
又因为AB=AC+CD=AE+DE=AE+BE
可得 DE=BE ，在直角三角形DEB中∠B=45°
在直角三角形ACB中 ∠B=∠CAB=45°，则AC=BC
（2）由（1）可知DE=BE =CD=BD*cos45°=4
则AB=AE+EB=AC+EB=BC+BE=4+4√2+4=8+4√2

Answer 2

要求出阴影部分面积，关键是求出△CFB'的面积
解：∵AB=AB'=2
∠B=45°
∴BB'=2√2
∴EB'=BE=√2
∵BC=2
BE=√2
∴CE=2-√2
∴CB'=2√2-2
又∵∠B'=45°
CB'=2√2-2
∴CF'=F'B'=2-√2
下面开始求相关面积
△AEB'=1/2×（√2×√2）=1
①
△CB'F'=1/2×[(2-√2)×(2-√2)]=2-√2
②
∴阴影部分面积=①-②=1-（2-√2）=√2-1