Question

已知F(X)定义域为(0,正无穷大)且是增函数,F(X/Y)=F(X)-F(Y)

(1)求f(1);
(2)f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2

Answer 1

(1)
f(1)=f(x/x)=f(x)-f(x)=0

(2)
由于f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(1)=0，所以
0<x<1时，f(x)<0
x>1时，f(x)>0

另外，f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)，所以
f(xy)=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)
则不等式f(x+3)-f(1/x)＜2可以化为：
f(x^2+3x)<1+1=f(6)+f(6)=f(36)

下面进行讨论：

如果0<x^2+3x≤1,则f(x^2+3x)≤0<2，这自然是符合要求的

如果x^2+3x>1,由于f(x)是增函数，则还要求x^2+3x<36

所以最后的解就是0<x^2+3x≤1和1<x^2+3x<36的并集
也就是求不等式0<x^2+3x<36
剩下的自己求啦 O(∩_∩)O~
好像说得有点繁琐- -；

Answer 2

（1）f(x/y)=f(x)-f(y)
令y=1则
f(x/1)=f(x)-f（1)
则f（1)=0
（2）由f(x/y)=f(x)-f(y)得
令x=1，则f(1/y)=f(1)-f(y)
则f(1/6)=f(1)-f(6)=-1
则f(36)=f[6/（1/6）]=f(6)-f(1/6)=1-(-1)=2
则f(x+3)-f(1/x)=f[(x+3)/（1/x）]=f(x^2+3x)<2=f(36)
因为f(x)定义域为(0,正无穷大)且是增函数，
则x^2+3x<36且x+3>0，1/x>0
则0<x<1/2*（-3+根号153）