Question

已知函数f(x)=√|x|*sin1/x^2,x不等于0;0,x=0.

已知函数f(x)=√|x|*sin1/x^2,x不等于0；0，x=0。则f(x)在x=0处可导吗？求具体过程。
2.

Answer 1

x不为0时，f(x) = |x|^(1/2)sin(1/x^2),
lim_{x->0}f(x) = lim_{x->0}|x|^(1/2)sin(1/x^2) = 0 [sin(1/x^2)有界，|x|^(1/2)是无穷小量。。]
= f(0),
f(x)在x=0处连续。

lim_{x->0+}[f(x) - f(0)]/x = lim_{x->0+}x^(1/2)sin(1/x^2)/x = lim_{x->0+}sin(1/x^2)/x^(1/2),
x = 1/(kPI)^(1/2), k为正整数时，sin(1/x^2) = 0,
lim_{k->正无穷｝sin(1/x^2)/x^(1/2) = lim_{k->正无穷｝sin(KPI)*(KPI)^(1/4) = 0

x = 1/(KPI + PI/2)^(1/2), k为正整数时，sin(1/x^2) = 1.
lim_{k->正无穷｝sin(1/x^2)/x^(1/2) = lim_{k->正无穷｝sin(KPI+PI/2)*(KPI+PI/2)^(1/4) = 正无穷。

因此，lim_{x->0+} [f(x)-f(0)]/x = lim_{x->0+}sin(1/x^2)/x^(1/2)不存在。
f(x)在x = 0处不可导 。

2，
x不为0时，f(x) = x^(c)arctan(1/x)。
f(0) = 0.
c > 0时，lim_{x->0}f(x) = lim_{x->0} x^(c)arctan(1/x) = 0 = f(0). [有界乘无穷小量]
c = 0时，f(x) = arctan(1/x), lim_{x->0+}f(x) = lim_{x->0+}arctan(1/x) = PI/2 不等于f(0),
c < 0时， f(x) = x^(c)arctan(1/x), lim_{x->0+}f(x) = lim_{x->0+}x^(c)arctan(1/x) = 正无穷，不等于f(0).
因此，只有c>0时，才有，f(x)在x=0处连续。

c>0时，lim_{x->0}[f(x) - f(0)]/x = lim_{x->0}x^(c-1)arctan(1/x).
c>1时，lim_{x->0}[f(x) - f(0)]/x = lim_{x->0}x^(c-1)arctan(1/x) = 0. [有界乘无穷小量]
c=1时，lim_{x->0+}[f(x) - f(0)]/x = lim_{x->0+}arctan(1/x) = PI/2.
lim_{x->0-}[f(x)-f(0)]/x = lim_{x->0-}arctan(1/x) = -PI/2,
f(x)在x=0处不可导。
0 < c < 1时，lim_{x->0+}[f(x) - f(0)]/x = lim_{x->0+}x^(c-1)arctan(1/x) = 正无穷.
lim_{x->0-}[f(x)-f(0)]/x = lim_{x->0-}x^(c-1)arctan(1/x) =正无穷,
f(x)在x=0处不可导。

0<c<=1时，f(x)在x=0处连续但不可导。
c>1时，f(x)在x=1处连续可导。

追问

第一题证明不可导的地方还是不太明白啊QAQ！！

追答

要是可导的话，应该lim_{x->0+}[f(x) - f(0)]/x 存在。
但取x = 1/(kPI)^(1/2), 让正整数k->正无穷时，x->0+, 此时，lim_{x->0+}[f(x)-f(0)]/x = 0.
取x = 1/(kPI + PI/2)^(1/2), 让正整数k->正无穷时，x->0+, 此时，lim_{x->0+}[f(x)-f(0)]/x = 正无穷.
所以lim_{x->0+}[f(x)-f(0)]/x不存在。
【要是存在的话，上面2个极限应该相等。。不会是一个等于0，一个等于无穷大。】