Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB—BA向点A做匀速运动．（1）点P将要运行路径AD的长度为 ；点Q将要运行的路径折线CB—BA的长度为 .（2）当点Q在BA边上运动时，若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．①求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求自变量t的取范围；②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？（3）如图2，若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤ ），当t =4秒时：①此时点Q是在边CB上，还是在边BA上呢？②△APQ是等腰三角形，请求出a的值．

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Answer 1

（1）5；10；（2） ( ≤t＜5)； ，6；（3）CB， ．

试题分析：（1）根据菱形的性质可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，再根据勾股定理即可求出菱形的边长； （2）①当0＜t≤ 时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，过点B作BE⊥AD，垂足为E，由直角三角形的性质求出BE的长，由三角形的面积公式可得到S与t的关系式； ②当 ≤t＜5时，点Q在BA上运动，由题意，得AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答即可； （3）先判断出等腰三角形的两腰长，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，进而可得出a的值． 试题解析：（1）5；10 （2）当点Q在BA上运动时，5≤2t＜10，即 ≤t＜5时. 如图,过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE. 由题意可得BE= ， AP= t，AQ=10－2t． ∴△AQG∽△ABE, ∴ , ∴QG= ． ∴ ， 即 ( ≤t＜5) ． ∵ ＜0,所以s有最大值. ∴当t= 时，S的最大值为6． （3） 解：∵a≤ ，则4a≤5， ∴点Q在CB上， 作QM⊥AD于M，QM交AC于点F,则QM为菱形的高. 由前面可知，QM= =4.8 而当点P运行到点M时，QM最小， 所以PQ≥QM， ∵t=4时，PA=4，∴QM>PA. ∴PQ≥MQ＞PA，类似的AQ＞MQ＞PA ∴QA=QP，△APQ是等腰三角形． ∵QM⊥AP ∴AM= AP=2.由△AMF∽△AOD 得 , 而AM=2,OD=3,OA=4 ∴ , ∴ ． 由△AMF∽△CQF, ,而QF= ，FM= ，AM=2. ∴CQ= ． 而当t=4时，CQ=4a 所以4a=  ，解得a= ．